Урок «Элементы симметрии правильных многогранников. Презентация на тему "элементы симметрии правильных многогранников"

Слайд 2

Симметрия относительно точки Симметрия относительно прямой А А1 О Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. А А1 a Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе. a a a

Слайд 3

Симметрия относительно плоскости А Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А1 О

Слайд 4

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии). О А Центр симметрии О А Плоскость симметрии О А a А1 Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Центр, ось, плоскость симметрии фигуры. А1 Ось симметрии А1

Слайд 5

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре.

Слайд 6

Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрииэтого многогранника. Апатит Золото

Слайд 7

Кальцит (двойник) Поваренная соль Лед

Слайд 8

Альмандин Ставролит (двойник)

Слайд 9

Правильный тетраэдр составлен их четырех равносторонних треугольников и в каждой вершине сходятся 3 ребра. 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800 Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится равное число ребер. В каждом правильном многограннике сумма числа и вершин равна числу рёбер,увеличенному на 2. грани вершины ребра Г + В = Р + 2 60+ 60 + 60

Слайд 10

Мы различаем правильный тетраэдр и правильную пирамиду. В отличие от правильного тетраэдра, все ребра которого равны, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но они могут быть не равны ребрам основания пирамиды. «тетра» - 4 Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней.

Слайд 11

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Осей симметрии – 3. Плоскостей симметрии – 6. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость, проходящая через ребро перпендикулярно к противоположному ребру, - ось симметрии. Элементы симметрии тетраэдра.

Слайд 12

Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. 6 граней, 8 вершин и 12 ребер «гекса» - 6 Куб, гексаэдр.

Слайд 13

Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Слайд 14

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 2400. «окта» - 8 Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер

Слайд 15

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти правильных треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3000. «икоса» - 20 Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер

Слайд 16

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных шестиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240. «додека» - 12 Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Слайд 17

Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона. Платон 428 – 348 г. до н.э. Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Слайд 18

огонь воздух вода земля Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

Слайд 19

вселенная Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Слайд 20

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Слайд 21

Архимед 287 – 212 гг. до н.э. Это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр, усечённый икосаэдр. Архимед описал полуправильные многогранники

Слайд 22

Усеченный тетраэдр Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Усеченный тетраэдр получится, если у тетраэдра срезать его четыре вершины.

Слайд 23

Усеченный куб Срезав вершины получим новые грани – треугольники. А из граней куба получатся грани – восьмиугольники. Усеченный куб получится, если у куба срезать все его восемь вершин.

Цель изучения 1. Познакомить учащихся с симметрией в пространстве. 2. Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками. 3. Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез. 4. Показать связь геометрии и природы. 5. Познакомить учащихся с симметрией правильных многогранников.

Прогнозируемый результат 1. Знать понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры. 2. Знать определение правильных выпуклых многогранников. 3. Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел. 4. Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников. 5. Уметь охарактеризовать элементы симметрии правильных многогранников. 6. Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

На рисунках 4,5,6 показаны центр О, ось а и плоскость α симметрии прямоугольного параллелепипеда. Параллелепипед, не являющийся прямоугольным, но являющийся прямой призмой, имеет плоскость (или плоскости, если его основание – ромб), ось и центр симметрии.

Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей, плоскостей симметрии). Например, куб имеет только один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является ее центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является ее осью (плоскостью) симметрии. С другой стороны, существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, параллелепипед, не являющийся прямой призмой, не имеет оси симметрии, но имеет центр симметрии.

С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.(Рис.7)

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырехугольники (квадраты) и правильные пятиугольники. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырехугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n – угольники при n 6. Угол правильного многоугольника вычисляется по формуле α n = (180°(n-2)) : n. При каждой вершине многогранника не меньше трех плоских углов, и их сумма должна быть меньше 360°. При n=3 гранями многогранника служат правильные треугольники с углом, равным 60°. 60°·3 = 180°

Если n = 4, то α = 90°, грани многогранника – квадраты. 90°·3 = 270° 360°. В этом случае также имеем только один правильный многогранник – додекаэдр. Если n 6, то α n 120°, α n ·3 360°, и, следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого служат правильные n – угольники при n 6. Если n = 4, то α = 90°, грани многогранника – квадраты. 90°·3 = 270° 360°. В этом случае также имеем только один правильный многогранник – додекаэдр. Если n 6, то α n 120°, α n ·3 360°, и, следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого служат правильные n – угольники при n 6.

«Правильные многогранники в философской картине мира Платона» Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок.428 – ок.348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе Х\/I – Х\/ІІ вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630). «Кубок Кеплера» Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. А теперь от Древней Греции перейдём к Европе Х\/I – Х\/ІІ вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630). «Кубок Кеплера» Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но наконец нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера где говорится о кубах средних расстояний от Солнца. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы бредовых, не может существовать наука.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80 – х гг. высказали московские инженеры В.Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро – додекаэдровую структуру Земли. (рис.8)Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро – додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

А сейчас от научных гипотез перейдем к научным фактам. Правильный многогранник Число Граней ВершинРёбер Тетраэдр 446 Куб 6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Число Граней и вершин (г+в) Рёбер Тетраэдр = 8 6 Куб = Октаэдр = Додекаэдр = Икосаэдр = 32 30

Г + В = Р + 2 Эта формула была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи () увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадоре Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
42

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По – видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево- калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Элементы симметрии правильных многогранников Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии, имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии. Куб имеет один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей, девять осей симметрии, девять плоскостей симметрии. Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

Тест 1. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником? а) правильный тетраэдр; б) правильный кексаэдр; в) правильная призма; г) правильный додекаэдр; д) правильный октаэдр. 2. Выберите верное утверждение: а) правильный многогранник, у которого грани являются правильными шестиугольниками, называется правильным кексаэдром;

Б) сумма плоских углов при вершине правильного додекаэдра равна 324°; в) куб имеет два центра симметрии – по одному в каждом основании; г) правильный тетраэдр состоит из 8 правильных треугольников; д) всего существует 6 видов правильных многогранников. 3. Какое из следующих утверждений неверно? а) сумма двугранных углов правильного тетраэдра и правильного октаэдра равна 180°; б) центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра;

В) правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников; г) сумма плоских углов при каждой вершине правильного икосаэдра равна 270°; д) куб и правильный кексаэдр – это одно и то же. Подведём итоги. - С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились? -- Почему Л.Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников? -Домашнее задание: п.35, п.36,п (устно)

Осевая симметрия Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку.

Центральная симметрия Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе.

Симметрия относительно плоскости Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости α(плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости α(плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе

Определение правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Правильный ОКТАЭДР Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º

Правильный икосаэдр Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º

Куб (кексаэдр) Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º

Правильный додекаэдр Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º

Таблица 1 Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 446 Куб 6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Таблица 2 Правильный многогранник Число граней и вершин (Г + В) рёбер(Р) Тетраэдр = 8 6 Куб = Октаэдр = Додекаэдр = Икосаэдр = 32 30

25

Внеаудиторная самостоятельная деятельность « На отлично» -, 2 модели правильных многогранников « На отлично» -, 2 модели правильных многогранников « На хорошо» -, 2 модели правильных многогранников « На хорошо» -, 2 модели правильных многогранников « На удовлетворительно» -, 1 модель правильного многогранника « На удовлетворительно» -, 1 модель правильного многогранника

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Лощадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объем правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой - радиус вписанной сферы r:

История.

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников. В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух - октаэдру, вода - икосаэдру, а огонь - тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент - эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу. Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13-17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета. В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики - законов Кеплера, - изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Элементы симметрии правильных многогранников Геометрия. 10 класс.

Тетраэдр - (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

Элементы симметрии тетраэдра

Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.

Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

Октаэдр - (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4 треугольников, таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240° .

Элементы симметрии октаэдра

Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.

Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости.

Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.

Икосаэдр – (от греческого ico - шесть и hedra - грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна

Элементы симметрии икосаэдра

Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии.

Плоскостей симметрии также 15.Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер.

Куб или гексаэдр (от греческого hex - шесть и hedra - грань) составлен из 6 квадратов. Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. У куба 12 ребер, имеющих равную длину.

Элементы симметрии куба

Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.

Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра

(таких плоскостей-6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3).

Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra– грань) это правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240.

Элементы симметрии додекаэдра

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Развертки правильных многогранников

Развертка- это способ развернуть многогранник на плоскость после проведения разрезов по нескольким ребрам. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника. Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток.