Пустая координатная плоскость. Координатная плоскость

Что такое координатная плоскость?

Термин «координаты» в переводе с латинского языка значит слово «упорядоченный».

Допустим, нам нужно обозначить положение точки на плоскости. Для этого мы берем 2 перпендикулярные прямые, которые называются осями координат, где Х будет осью абсцисс, У- осью ординат, а началом координат будет точка О. Образованные с помощью осей координат прямые углы, будут называться координатными углами.

Так мы подошли к определению и теперь знаем, что координатной плоскостью является плоскость с заданной системой координат.

А теперь давайте посмотрим, нумерацию координатных углов:

Теперь давайте с вами отобразим прямоугольную систему координат и отметим в ней точку M.

Далее нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси У. Теперь, смотрим, что у нас вышло. Как видим, что прямая пересекает ось Х в той точке, в которой координата будет равна −2. Данная координата является абсциссой точки M.

Теперь нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси Х.

Мы с вами видим, что эта прямая пересекает ось Х в той точке, координата которой равняется трем. Вот эта координата будет ординатой точки М.

Запись координат токи М будет выглядеть так:

В такой записи всегда на первое место ставят абсциссу, а на второе – ординату. Если рассмотреть на примере координат точки М(-2;3), то -2 выступает в роли абсциссы точки М, а ординатой этой точки будет число 3.

Из этого следует, что на координатной плоскости каждой точке М соответствует такая пара чисел, как ее абсцисса и ордината. Верным будет и утверждение наоборот, то есть, каждой такой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание:

Координатная плоскость в жизни

Как по вашему, может ли пригодиться в повседневной жизни знания о координатной плоскости? И доводилось ли вам слышать такую фразу, как «оставьте свои координаты» или «по каким координатам вас можно найти»? И задумывались ли вы над тем, что может обозначать эти выражения?

Оказывается все очень просто и банально и это значит местонахождение того или иного объекта, по которому легко найти человека или какое-то определенное место. Можно уверенно утверждать, что системы координат необходимы в практической жизни человека повсеместно.

Такой системой координат может быть как домашний адрес, так и номер телефона, место работы и т.д.

Ведь даже при покупке билетов на поезд, вы знаете не только его номер и место назначения, но и обязательно должен быть указан номер вагона и места.

Чтобы пойти в гости к однокласснику, недостаточно знать только дом, в котором он живет, а нужно еще и знать номер квартиры.

Задание

1. Какими сведениями вы должны владеть, чтобы занять место в театре?
2. Какие данные нужно иметь, чтобы определить точки на земной поверхности?
3. По каким координатам можно определить место в кинотеатре?
4. Что необходимо знать, чтобы определелить положения фигуры на шахматной доске?
5. Какими координатами вы пользуетесь при игре в морской бой?

Историческая справка

Идея использования координат появилась еще в глубокой древности. Первоначально их применять начали астрономы, для определения небесных светил и географы – для определения местонахождения и объектов на поверхности Земли.

Благодаря трудам древнегреческого астронома Клавдия Плотомея уже во втором веке ученые научились определять долготу и широту.

А известно ли вам, почему в математике существует такое понятие, как «Декартова система координат»? Оказывается метод координат, который имеет общематематическое значение, был открыт французскими математиками Пьером Ферма и Рене Декартом в XVII в., а в 1637 году Рене Декарт впервые описал его в книге по геометрии.

А вот термины «абсцисса», «ордината» и «координаты» были впервые введены Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Домашнее задание:

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

• отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

• отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

• отложим число $3$ на оси $x$;
• координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

• отложим число $2$ на оси $y$;
• координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

• отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
• на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

• координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
• отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

• отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
• на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
• на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

• координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
• отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

• обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В речи взрослых вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, по которым его можно найти. Те из вас, кто играл в «морской бой», пользовались при этом соответствующей системой координат. Аналогичная система координат используется в шахматах. Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду. Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась ещё в древности. Система координат пронизывает всю практическую жизнь человека и имеет огромное практическое применение. Поэтому мы решили создать данный проект, чтобы расширить свои познания по теме «Координатная плоскость»

Задачи проекта :

ознакомиться с историей возникновения прямоугольной системой координат на плоскости;

выдающимися деятелями, занимающимися данной темой;

найти интересные исторические факты;

хорошо воспринимать на слух координаты; четко и аккуратно выполнять построения;

подготовить презентацию.

ГлаваI. Координатная плоскость

Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась ещё в древности - прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт, календарей.

§1. Зарождение координат. Система координат в географии

За 200 лет до нашей эры греческий ученый Гиппарх ввёл географические координаты. Он предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу. С помощью этих двух чисел можно точно определить положение острова, поселка, горы или колодца в пустыне и нанести их на карту или глобус, Научившись определять в открытом мире широту и долготу местонахождения корабля, моряки получили возможность выбирать нужное им направление.

Восточную долготу и северную широту обозначают числами со знаком «плюс», а западную долготу и южную широту — со знаком «минус». Таким образом, пара чисел со знаками однозначно определяет точку на земном шаре.

Географическая широта? - угол между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0 до 90 в обе стороны от экватора. Географическая долгота? - угол между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начала меридиана(см. Гринвичский меридиан). Долготы от 0 до 180 к востоку от начала меридиана называют восточными, к западу - западными.

Чтобы найти некоторый объект в городе, в большинстве случаев достаточно знать его адрес. Трудности возникают, если нужно объяснить, где находится, например, дачный участок, место в лесу. Универсальным средством указания местоположения служат географические координаты.

При попадании в аварийную ситуацию, человек первым делом должен уметь ориентироваться на местности. Иногда необходимо определить географические координаты своего местоположения, например, чтобы передать спасательной службе или для других целей.

В современной навигации стандартно используется всемирная система координат WGS-84. В этой системе координат работают все GPS навигаторы и основные картографические проекты в Интернете. Координаты в системе WGS-84 столь же общеупотребимы и понятны всем, как всемирное время. Общедоступная точность при работе с географическими координатами составляет 5 - 10 метров на местности.

Географические координаты представляют собой числа со знаком (широта от -90° до +90°, долгота от -180° до +180°) и могут записываться в различных формах: в градусах (ddd.ddddd°); градусах и минутах (ddd° mm.mmm"); градусах, минутах и секундах (ddd° mm" ss.s"). Формы записи могут быть элементарно пересчитаны одна в другую (1 градус = 60 минут, 1 минута = 60 секунд). Для обозначения знака координат часто используются буквы, по названию сторон света: N и E - северная широта и восточная долгота - положительные числа, S и W - южная широта и западная долгота - отрицательные числа.

Форма записи координат в ГРАДУСАХ наиболее удобна для ручного ввода и совпадает с математической записью числа. Форма записи координат в ГРАДУСАХ И МИНУТАХ является предпочтительной во многих случаях, такой формат установлен по умолчанию в большинстве GPS навигаторов и стандартно используется в авиации и на море. Классическая форма записи координат в ГРАДУСАХ, МИНУТАХ И СЕКУНДАХ в действительности не находит большого практического применения.

§2. Система координат в астрономии. Мифы о созвездиях

Как было сказано выше идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась в древности у астрономов при составлении звездных карт. Людям нужно было считать время, предсказывать сезонные явления (приливы, отливы, сезонные дожди, затопления), нужно было ориентироваться на местности во время путешествий.

Астрономия - это наука о звёздах, планетах, небесных телах, их строении и развитии.

Прошли тысячи лет, наука шагнула далеко вперёд, а человек по-прежнему не может оторвать восхищённого взгляда от красоты ночного неба.

Созвездия - участки звёздного неба, характерные фигуры, образуемые яркими звёздами. Всё небо разделено на 88 созвездий, которые облегчают ориентирование среди звёзд. Большинство названий созвездий пришло из древности.

Самое известное созвездие - Большая Медведица. В Древнем Египте его называли “Гиппопотам”, а казахи называли “Конь на привязи”, хотя внешне созвездие не напоминает ни одного, ни другого животного. Какое же оно?

У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой Медведиц. Всемогущий бог Зевс решил взять себе в жены прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую медведицу, ее любимую собаку - в Малую Медведицу и взял их на небо. Перенести созвездия Большой и Малой Медведиц со звездного неба на координатную плоскость. . Каждая из звёзд “ Ковша большой медведицы” имеет свое название.

МЕДВЕДИЦУ БОЛЬШУЮ

Узнаю по КОВШУ я!

Семь звёзд сверкают тут,

А вот как их зовут:

ДУБХЕ освещает мрак,

Рядом с ним горит МЕРАК,

Сбоку ФЕКДА с МЕГРЕЦОМ,

Разудалым молодцом.

От МЕГРЕЦА на отлёт

Расположен АЛИОТ,

А за ним - МИЦАР с АЛЬКОРОМ

(Эти двое светят хором).

Замыкает ковшик наш

Бесподобный БЕНЕТНАШ.

Он указывает глазу

Путь в созвездье ВОЛОПАСА,

Где АРКТУР прекрасный светит,

Всяк теперь его заметит!

Не менее красивая легенда о созвездиях « Цефея», «Кассиопеи» и «Андромеды» .

Когда-то Эфиопией правил царь Цефей. Однажды его супруга, царица Кассиопея, имела неосторожность похвастать своей красотой перед обитательницами моря - нереидами. Последние, обидевшись, пожаловались богу моря Посейдону, и разгневанный дерзостью Кассиопеи властитель морей напустил на берега Эфиопии морское чудовище - Кита. Чтобы избавить свое царство от разрушений, Цефей, по совету оракула, решил принести жертву чудовищу и отдать ему на съедение свою любимую дочь Андромеду. Он приковал Андромеду к прибрежной скале и оставил ее в ожидании решения своей участи.

А в это время на другом краю света мифический герой Персей совершил смелый подвиг. Он проник на уединенный остров, где жили горгоны - удивительные чудовища в образе женщин, у которых на головах вместо волос кишели змеи. Взгляд горгон был так ужасен, что каждый на кого они смотрели, мгновенно превращался в камень.

Воспользовавшись сном этих чудовищ, Персей отсек голову одной из них -Горгоне Медузе. В этот момент из отрубленного тела Медузы выпорхнул конь Пегас. Персей схватил голову медузы, вскочил на Пегаса и по воздуху помчался к себе на родину. Когда он пролетал над Эфиопией, то увидел прикованную к скале Андромеду. В этот момент Кит уже вынырнул из морских пучин, готовясь проглотить свою жертву. Но Персей, ринувшись в смертельный бой с Китом, победил чудовище. Он показал Киту еще не потерявшую силу голову медузы, и чудовище окаменело, превратившись в остров. Что же касается Персея, то, расковав Андромеду, он вернул ее отцу, а растроганный от счастья Цефей отдал Андромеду в жены Персею. Так благополучно закончилась эта история, главные герои которой были помещены древними греками на небо.

На звездной карте можно найти не только Андромеду с ее отцом, матерью и мужем, но и волшебного коня пегаса и виновника всех бед - чудовища Кита.

Созвездие Кита расположено ниже Пегаса и Андромеды. К сожалению, оно не отмечено какими-нибудь характерными яркими звездами и поэтому принадлежит к числу второстепенных созвездий.

§3. Использование идеи прямоугольных координат в живописи.

Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. В погребальной камере пирамиды отца Рамсеса на стене имеется сеть квадратиков. С их помощью перенесено изображение в увеличенном виде. Прямоугольной сеткой пользовались и художники Возрождения.

Слово «перспектива» в переводе с латинского означает «ясно вижу». В изобразительном искусстве линейная перспектива — это изображение предметов на плоскости в соответствии с кажущимися изменениями их величины. Основу современной теории перспективы заложили великие художники эпохи Возрождения — Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие. На одной из гравюр Дюрера (рис. 3) изображён способ рисования с натуры через стекло с нанесённой на него квадратной сеткой. Этот процесс можно описать так: если встать перед окном и, не изменяя точки зрения, обвести на стекле всё, что видно за ним, то полученный рисунок и будет перспективным изображением пространства.

Египетские методы проектирования, которые, похоже, основывались на схемах квадратной сетки. В египетском искусстве имеются многочисленные примеры, показывающие, что художники и скульпторы сначала рисовали сетку на стене, которую предстояло расписать или вырезать, для того чтобы сохранить установленные пропорции. Простые числовые отношения этих сеток служат сердцевиной всех великих художественных произведений египтян.

Тот же метод использовался многими художниками Возрождения, в том числе и Леонардо да Винчи. В Древнем Египте это нашло свое воплощение в Великой пирамиде, что и подкрепляется ее тесной связью с узором на Марлборо-Дауне.

Приступая к работе, египетский художник расчерчивал стену сеткой прямых линий и затем тщательно переносил на нее фигуры. Но геометрическая упорядоченность не мешала ему воссоздавать натуру с детальной точностью. Наружность каждой рыбы, каждой птицы передана с такой правдивостью, что современные зоологи без труда определяют их виды. На рис.4 дана деталь композиции с иллюстрации- дерево с птицами, схваченными сетью Хнумхотепа. Движение руки художника направлялось не только запасами его навыков, но и глазом, чувствительным к очертаниям натуры.

Рис.4 Птицы на акации

Глава II. Метод координат в математике

§1. Применение координат в математике. Заслуги

французского математика Рене Декарта

Долгое время лишь география "землеописание" - пользовалась этим замечательным изобретением, и только в 14 веке французский математик Никола Орем (1323-1382) попытался приложить его к "землеизмерению" - геометрии. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

На основе этого удачного нововведения возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании этого метода принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596 - 1650). В его честь такая система координат называется декартовой, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до "нулевой широты" - оси абсцисс " и "нулевого меридиана" - оси ординат.

Однако этот гениальный французский ученый и мыслитель XVII века (1596 - 1650) далеко не сразу нашел свое место в жизни. Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, например, разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.

После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.

1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта.

Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.

В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1628 Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.

В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.

В 1637 на французском языке выходит работа Декарта «Рассуждение о методе», с которой, как многие считают, и началась новоевропейская философия.

Большое влияние на европейскую мысль оказала и последняя философская работа Декарта «Страсти души», опубликованная в 1649 г. В том же году по приглашению шведской королевы Кристины Декарт отправился в Швецию. Суровый климат и непривычный режим (королева заставляла Декарта вставать в 5 утра, чтобы давать ей уроки и выполнять другие поручения) подорвали здоровье Декарта, и, подхватив простуду, он

умер от пневмонии.

По традиции, введенной Декартом, "широта" точки обозначаются буквой x, "долгота" - буквой y

На этой системе основаны многие способы указания места.

Например, на билете в кинотеатр стоят два числа: ряд и место — их можно рассматривать как координаты места в зале.

Подобные координаты приняты в шахматах. Вместо одного из чисел берется буква: вертикальные ряды клеток обозначаются буквами латинского алфавита, а горизонтальные — цифрами. Таким образом, каждой клетке шахматной доски ставится в соответствие пара из буквы и числа, и шахматисты получают возможность записывать свои партии. О применении координат пишет в своём стихотворении "Сын артиллериста" Константин Симонов.

Всю ночь, шагая как маятник,

Глаз майор не смыкал,

Пока по радио утром

Донёсся первый сигнал:

"Всё в порядке, добрался,

Немцы левей меня,

Координаты (3;10),

Скорее давайте огня!

Орудия зарядили,

Майор рассчитал всё сам.

И с рёвом первые залпы

Ударили по горам.

И снова сигнал по радио:

"Немцы правей меня,

Координаты (5; 10),

Скорее ещё огня!

Летели земля и скалы,

Столбом поднимался дым.

Казалось, теперь оттуда

Никто не уйдёт живым.

Третий сигнал по радио:

"Немцы вокруг меня,

Координаты (4; 10),

Не жалейте огня.

Майор побледнел, услышав:

(4;10) - как раз

То место, где его Лёнька

Должен сидеть сейчас.

Константин Симонов "Сын артиллериста"

§2. Легенды об изобретении системы координат

Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта.

Легенда 1

До наших времён дошла такая история.

Посещая парижские театры, Декарт не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Легенда2. Однажды РенеДекарт весь день пролежал в кровати, думая о чем-то, а муха жужжала вокруг и не давала ему сосредоточиться. Он стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени математически, чтобы иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И...придумал, декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества.

Марковцев Ю.

Однажды в незнакомый город

Приехал молодой Декарт.

Его ужасно мучил голод.

Стоял промозглый месяц март.

Решил к прохожей обратиться

Декарт, пытаясь, дрожь унять:

Где тут гостиница, скажите?

И дама стала объяснять:

- Идите до молочной лавки,

Потом до булочной, за ней

Цыганка продает булавки

И яд для крыс и для мышей,

Найдете в них наверняка

Сыры, бисквиты, фрукты

И разноцветные шелка…

Все объяснения эти слушал

Декарт, от холода дрожа.

Ему хотелось очень кушать,

- За магазинами - аптека

(аптекарь там - усатый швед),

И церковь, где в начале века

Венчался, кажется, мой дед…

Когда на миг умолкла дама,

Вдруг произнес ее слуга:

- Идите три квартала прямо

И два направо. Вход с угла.

Это - третья небылица о случае, который подсказал Декарту идею координат.

Заключение

Создавая, свой проект мы узнали о применении координатной плоскости в различных областях науки и повседневной жизни, некоторые сведения из истории возникновения координатной плоскости и математиках сделавших большой вклад в это изобретение. Материал, который мы собрали в ходе написания работы, может быть использован на занятиях школьного кружка, в качестве дополнительного материала к урокам. Всё это может заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

А закончить нам бы хотелось такими словами:

«Представь свою жизнь координатной плоскостью. Ось у — твое положение в обществе. Ось х — продвижение вперед, к цели, к твоей мечте. И как мы знаем, она бесконечна… мы можем падать вниз, все дальше углубляясь в минус, можем оставаться на нуле и ничего не делать, абсолютно ничего. Можем подниматься вверх, можем падать, можем идти вперед или возвращаться назад, а все из-за того, что вся наша жизнь это координатная плоскость и самое главное здесь, какая у тебя координата…»

Список используемой литературы

Глейзер Г.И. История математики в школе: - М.: Просвещение, 1981. - 239 с, ил.

Ляткер Я. А. Декарт. М.: Мысль, 1975. - (Мыслители прошлого)

Матвиевская Г. П. Рене Декарт, 1596-1650. М.: Наука, 1976.

А. Савин. Координат. Квант. 1977. №9

Математика - приложение к газете «Первое сентября», №7, №20, №17, 2003г., №11, 2000г.

Зигель Ф.Ю. Звёздая азбука: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1981. - 191 с., ил

Стив Паркер, Николас Харрис. Иллюстрированная энциклопедия для детей. Тайны вселенной. Харьков Белгород. 2008

Материалы с сайта http://istina.rin.ru/

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC, координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A, координата z - аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов , сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или e x e y e z . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов :

• [i j ]=k ;
• [j k ]=i ;
• [k i ]=j .

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат . Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Координатная плоскость" в других словарях:

плоскость резания - (Pn) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная основной плоскости. [ …

В топографии сеть воображаемых линий, опоясывающих земной шар в широтном и меридиональном направлениях, с помощью которой можно точно определить положение любой точки на земной поверхности. Отсчет широт ведется от экватора – большой окружности,… … Географическая энциклопедия

В топографии сеть воображаемых линий, опоясывающих земной шар в широтном и меридиональном направлениях, с помощью которой можно точно определить положение любой точки на земной поверхности. Отсчет широт ведется от экватора большой окружности,… … Энциклопедия Кольера

У этого термина существуют и другие значения, см. Фазовая диаграмма. Фазовая плоскость координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы… … Википедия

главная секущая плоскость - (Pτ) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения основной плоскости и плоскости резания. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и координатные плоскости … Справочник технического переводчика

инструментальная главная секущая плоскость - (Pτи) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения инструментальных основной плоскости и плоскости резания. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и координатные плоскости … Справочник технического переводчика

инструментальная плоскость резания - (Pnи) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная инструментальной основной плоскости. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и… … Справочник технического переводчика

Математика - наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость - это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат - строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь "декартовой".

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты - одну координату буквенную, вторую - цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось - абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как (Ox ). Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy ). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0 . Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината - положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная - ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy . Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное - углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка - центр окружности, вторая - точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость - это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, - умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.