Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:
Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \
В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое - в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду
\[ z_2 = \frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}).\]
Выражение \ говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:
\[\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac{\sqrt 3}{-1}=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\]
Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:
В нашем случае:
\[(z_1+z_2)^{10}=(\frac{1}{2})^{10}\cdot(\cos (10\cdot\frac{5\pi}{6})+i\sin\cdot\frac{5\pi}{6}))=\frac{1}{2^{10}}\cdot\cos \frac{25\pi}{3}+i\sin\frac{25\pi}{3}.\]
Делая дробь \[\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\] правильной, приходим к выводу, что можно "скрутить" 4 оборота \[(8\pi рад.):\]
\[ (z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Ответ: \[(z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:
Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Для решения задач с комплексными числами необходимо разобраться с основными определениями. Главная задача данной обзорной статьи - объяснить, что же такое комплексные числа, и предъявить методы решения основных задач с комплексными числами. Итак, комплексным числом будем называть число вида z = a + bi
, где a, b
— вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и обозначают a = Re(z), b=Im(z)
.
i
называется мнимой единицей. i 2 = -1
. В частности, любое вещественное число можно считать комплексным: a = a + 0i
, где a
— вещественное. Если же a = 0
и b ≠ 0
, то число принято называть чисто мнимым.
Теперь введем операции над комплексными числами.
Рассмотрим два комплексных числа z 1 = a 1 + b 1 i
и z 2 = a 2 + b 2 i
.
Рассмотрим z = a + bi .
Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т.д. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке: N
– натуральные числа, Z
- целые, Q
– рациональные, R
– вещественные, C
– комплексные.
Представление комплексных чисел
Алгебраическая форма записи.
Рассмотрим комплексное число z = a + bi
, такая форма записи комплексного числа называется алгебраической
. Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок
Тригонометрическая форма.
Из рисунка видно, что число z = a + bi
можно записать иначе. Очевидно, что a = rcos(φ)
, b = rsin(φ)
, r=|z|
, следовательно z = rcos(φ) + rsin(φ)i
, φ ∈ (-π; π)
называется аргументом комплексного числа. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой
. Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Например, ее удобно использовать для возведения комплексного числа в целую степень, а именно, если z = rcos(φ) + rsin(φ)i
, то z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i
, эта формула называется формулой Муавра
.
Показательная форма.
Рассмотрим z = rcos(φ) + rsin(φ)i
— комплексное число в тригонометрической форме, запишем в другом виде z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ
, последнее равенство следует из формулы Эйлера, таким образом мы получили новую форму записи комплексного числа: z = re iφ
, которая называется показательной
. Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного числа в степень: z n = r n e inφ
, здесь n
не обязательно целое, а может быть произвольным вещественным числом. Такая форма записи довольно часто используется для решения задач.
Основная теорема высшей алгебры
Представим, что у нас есть квадратное уравнение x 2 + x + 1 = 0
. Очевидно, что дискриминант этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень. Из этого следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется. Простым следствием из этой теоремы является такой результат: существует ровно n различных корней степени n из единицы.
Основные типы задач
В этом разделе будут рассмотрены основные типы простых задач на комплексные числа. Условно задачи на комплексные числа можно разбить на следующие категории.
- Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами.
- Нахождение корней многочленов в комплексных числах.
- Возведение комплексных чисел в степень.
- Извлечение корней из комплексных чисел.
- Применение комплексных чисел для решения прочих задач.
Теперь рассмотрим общие методики решения этих задач.
Выполнение простейших арифметических операций с комплексными числами происходит по правилам описанным в первом разделе, если же комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной формах, то в этом случае можно перевести их в алгебраическую форму и производить операции по известным правилам.
Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Предположим, что у нас есть квадратное уравнение, если его дискриминант неотрицателен, то его корни будут вещественными и находятся по известной формуле. Если же дискриминант отрицателен, то есть D = -1∙a 2
, где a
— некоторое число, то можно представить дискриминант в виде D = (ia) 2
, следовательно √D = i|a|
, а дальше можно воспользоваться уже известной формулой для корней квадратного уравнения.
Пример
. Вернемся к упомянутому выше квадратному уравнению x 2 + x + 1 = 0
.
Дискриминант — D = 1 — 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2
.
Теперь с легкостью найдем корни:
Возведение комплексных чисел в степень можно выполнять несколькими способами. Если требуется возвести комплексное число в алгебраической форме в небольшую степень (2 или 3), то можно сделать это непосредственным перемножением, но если степень больше (в задачах она часто бывает гораздо больше), то нужно записать это число в тригонометрической или показательной формах и воспользоваться уже известными методами.
Пример
. Рассмотрим z = 1 + i
и возведем в десятую степень.
Запишем z
в показательной форме: z = √2 e iπ/4
.
Тогда z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4
.
Вернемся к алгебраической форме: z 10 = -32i
.
Извлечение корней из комплексных чисел является обратной операцией по отношению к операции возведения в степень, поэтому производится аналогичным образом. Для извлечения корней довольно часто используется показательная форма записи числа.
Пример
. Найдем все корни степени 3
из единицы. Для этого найдем все корни уравнения z 3 = 1
, корни будем искать в показательной форме.
Подставим в уравнение: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Отсюда: r = 1
, 3φ = 0 + 2πk
, следовательно φ = 2πk/3
.
Различные корни получаются при φ = 0, 2π/3, 4π/3
.
Следовательно 1
, e i2π/3
, e i4π/3
— корни.
Или в алгебраической форме:
Последний тип задач включается в себя огромное множество задач и нет общих методов их решения. Приведем простой пример такой задачи:
Найти сумму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx) .
Хоть в формулировке этой задачи и не идет речь о комплексных числах, но с их помощью ее можно легко решить. Для ее решения используются следующие представления:
Если теперь подставить это представление в сумму, то задача сводится к суммированию обычной геометрической прогрессии.
Заключение
Комплексные числа широко применяются в математике, в этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу.
Необычная Масленица: Цветные блины и торт из блинов с зеленым чаем
После маммопластики — что нельзя когда увеличила грудь Больно ли удалять дренаж после маммопластики
Нафтизин: инструкция по применению Можно ли нафтизин ребенку
Краткий пересказ романа Чарльза Диккенса «Приключения Оливера Твиста Краткая информация приключения оливера твиста
Академия мубинт входит в число эффективных вузов россии